定員2名、3名、4名の3つの部屋がある。 (2) 7人の学生のみを、これらの3つの部屋に定員を超えないように入れる入れ方はゥ▢通りである。ただし、誰も入らない部屋があってもよい。 解 (2) 805通り (1)ァより教授2人が同じ部屋に入る場合は350通り、 (1)ィより…

定員2名、3名、4名の3つの部屋がある。 (1) 2人の教員と7人の学生の合計9人をこれらの3つの部屋に定員どおりに入れる入れ方はァ▢通りである。 また、そのなかで2人の教授が異なる部屋に入る入れ方はィ▢通りである。 解 (1) ァ1260通り ィ910通り 9人から2人…

1から5までの番号が1つずつかかれたカード5枚と1から5までの番号が1つずつ書かれた箱5つがある。それぞれの箱にカードを1枚ずつ入れるとき、以下の場合の数を求めよ。 (3) 入れられたカードの番号と同じ番号が書かれた箱が1つもない。 解 (3) 44通り 余事象…

1から5までの番号が1つずつかかれたカード5枚と1から5までの番号が1つずつ書かれた箱5つがある。それぞれの箱にカードを1枚ずつ入れるとき、以下の場合の数を求めよ。 (2) 入れられたカードの番号と同じ番号が書かれた箱がちょうど1つある。 解 (2) 45通り 1…

1から5までの番号が1つずつかかれたカード5枚と1から5までの番号が1つずつ書かれた箱5つがある。それぞれの箱にカードを1枚ずつ入れるとき、以下の場合の数を求めよ。 (1) 入れられたカードの番号と同じ番号が書かれた箱がちょうど2個ある。 解 (1) 20通り 1…

1から9までの整数が1つずつ書かれたカードが9枚ある。この中から7枚のカードを無作為に取り出して得られる7つの整数のうちの最大のものをXとする。Xの期待値を求めよ。 解 35/4 カードの取り出し方を考えると、取り出したカードの中に7,8,9のいずれかが1つ以…

10本のくじの中に3本の当たりくじと1本のチャンスくじがある。A、Bの順に1回ずつくじを引くとき、次の確率を求めよ。ただし、チャンスくじを引いたときに限り、引き続きもう1回引くものとする。また、くじは1回に1本ずつ無作為に引き、もとに戻さないとする…

点Pは正三角形ABCの辺に沿って頂点を移動できる。このとき、次の操作を考える。 (操作) 2枚の硬貨を同時に投げる。表が2枚出れば、点Pは時計回りに隣の頂点に動く。表が1枚だけ出れば、点Pは反時計回りに隣の頂点に動く。表が出なければ、点Pは動かない。 こ…

平面上に8本の直線があり、そのいずれの3本も1点で交わることがない。 この8本のうち2本だけが平行であるとき、それら8本の直線によってできる三角形は何個あるか。 解 50個 線を3本選べば三角形が作れるので₈C₃＝56通り 選んだ3本の中に平行な2直線が含まれ…

本棚に異なる本が7冊ある。その中から、少なくとも1冊以上何冊でも好きなだけ本を取り出すとすれば、その取り出し方は何通りあるか。 解 127通り 各本について”取り出す”か”取り出さない”の2択を考えればOKです。 7冊あるので、2⁷＝128通り この中に7冊すべ…

A,B2人の試合において、先に3勝した方に賞金400円が与えられる。ところが、Aが2勝、Bが1勝したところで、以後の試合を中止した。そこで、試合を続行するとしたときの、A,Bそれぞれの得る賞金額の期待値を分配することにした。賞金をどのように分配すればよい…

1個のさいころを1回投げて、出た目を得点とする。 ただし、出た目を確認した後で選択(A)をすることができる。 (A) あと2回さいころを投げて、そこで出た目の差の2倍を得点とする。 最初にさいころを投げて4の目が出たとき、より高い得点にするためにはこの選…

赤玉3個、白玉2個が入った袋から玉を1個取り出してはもとに戻すことを3回繰り返す。次の2つの場合のうち、どちらの方が得か。 ①赤玉1個につき250円をもらう。 ②白玉が2個出たときだけ2000円をもらう。 解 ②の方が得 まず①の期待値を求めます。 もらえる金額…

白玉2個、黒玉5個、赤玉3個が入っている袋から玉1個を取り出し、白玉が出たら1000円、黒玉が出たら100円もらえ、赤玉が出たら800円を支払うゲームがある。ゲームの参加料が0円であるとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。 解 得であるといえ…

3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出たら100点、2枚出たら50点を獲得し、1枚の時は60点を、1枚も出ないときは70点を失うものとする。1回硬貨を投げるときの得点の期待値を求めよ。 解 0点 各得点と確率をまとめると以下の表のようになります。 表3回(100点)…

2個のさいころを同時に投げるとき、2個の目の積の期待値を求めよ。 解 49/4 2個のさいころの目の積は下の表のようになります。 積とその確率をまとめると 1・1/36＋2・2/36＋3・2/36＋4・3/36＋5・2/36＋6・4/36 ＋8・2/36＋9・1/36＋10・2/36＋12・4/36＋15…

3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出たときは80点、2枚出たときは40点、1枚以下の時は0点を得点として与えるゲームがある。このゲームの得点の期待値を求めよ。 解 25点 表にまとめると以下のようになります。 表が3枚出る(80点)確率は、(1/2)³＝1/8 表2回、…

シュートの成功率が2/3であるバスケットボール選手がいる。この選手が4回シュートをしたとき、シュートが成功する回数の期待値を求めよ。 解 8/3回 表にまとめると次のようになります。各値の求め方は表の下に記載します。 (ⅰ) 成功回数0回の確率 成功率2/3…

総数1000本のくじの中に、1等10000円1本、2等1000円2本、3等100円10本の当たりくじがあり、残りの987本ははずれくじである。このくじ1本を引くとき、賞金額の期待値を求めよ。ただし、はずれの場合の賞金は0円とする。 解 13円 期待値は各値とその確率の積を…

5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月にA、B、C3軒を順に年始回りをして家に帰ったところ、帽子を忘れてきたことに気がついた。2番目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。 解 20/61 家Aで忘れる確率は1/5(＝25/125) 家Aで忘れず、家B忘れる確率は …

ある電器店が、A社、B社、C社から同じ製品を仕入れた。A社、B社、C社から仕入れた比率は4：3：2であり、製品が不良品である比率はそれぞれ3％、4％、5％であるという。いま、大量にある3社の製品をよく混ぜ、その中から1個抜き取って調べたところ、不良品で…

Aの袋には白玉3個と赤玉2個、Bの袋には白玉2個と赤玉3個、Cの袋には白玉1個と赤玉4個が入っている。1個のさいころを投げて1の目が出たらAの袋を、2、3の目が出たらBの袋を、4～6の目が出たらCの袋を選び、1個の玉を取り出すものとする。取り出された玉が白玉…

ジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出す。2枚のうち少なくとも1枚はハートであることがわかっているとき、残りの1枚もハートである確率を求めよ。 解 2/15 まず、少なくとも1枚はハートという条件を考えます。 これはハートが0枚…

箱Aには赤玉3個と白玉2個、箱Bには赤玉と白玉が2個ずつ入っている。 (1) 箱Aから玉を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を1個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。 (2) 箱Aから玉を2個同時に取り出し、それらを箱Bに入れた後、箱Bから玉…

1つのつぼに赤玉と白玉が合計10個入っている。このつぼから1個の玉を取り出し、それをつぼに戻さずにまた1個の玉を取り出す。このとき、取り出される2個の玉がともに赤玉である確率は7/15であるという。このつぼに初め赤玉は何個入っているか。 解 7個 赤玉…

10本のくじの中に3本の当たりくじが入っている。このくじから1本ずつ順に、引いたくじはもとに戻さずに2本引いたら、2本の中に当たりくじがあることがわかった。このとき、1本目のくじが当たりくじである確率を求めよ。 解 9/16 引いた2本のうち1本以上が当…

ジョーカーを1枚だけ含む1組53枚のトランプがある。カードをもとに戻さずに1枚ずつ続けて引いていくとき、10枚目にジョーカーが出る確率を求めよ。 解 1/53 1枚目はジョーカー以外を引くので、52/53 2枚目もジョーカー以外を引くので、51/52 3枚目もジョーカ…

10本のくじの中に当たりくじが2本ある。引いたくじをもとに戻さないで、 A、B、Cの3人がこの順に1本ずつ引くとき、次の問いに答えよ。 (1) Cが当たる確率を求めよ。 (2) 次の文のうち、正しいものを1つ選べ。 ①Aが最も当たりやすい ②Bが最も当たりやすい ③C…

箱Aには赤玉3個と白玉1個、箱Bには赤玉2個と白玉2個、箱Cには赤玉1個と白玉3個が入っている。無作為に1つの箱を選び、その中から同時に玉を2個取り出すとき、それらが赤玉と白玉である確率を求めよ。 解 5/9 選ばれる箱によって確率が異なるので以下のパター…

袋の中に赤玉7個と白玉5個が入っている。袋の中から玉を、もとに戻さずに1個ずつ取り出すとき、4回目に初めて白玉が出る確率を求めよ。 解 35/396 1回目に赤玉が出る確率は7/12 2回目に赤玉が出る確率は6/11 3回目に赤玉が出る確率は5/10 4回目に白玉が出る…