(1) a,b,b,b,c,c,dの7文字を1列に並べる方法は何通りあるか。 (2) KUMAMOTOの8文字を1列に並べる方法は何通りあるか。 解 (1) 420通り 簡単な例a,b,bの3文字を1列に並べて考えます。 1つ目は3通り 2つ目は2通り 3つ目は1通りなので3・2・1＝6通りとなりそう…

6本の平行線と、それらに交わる4本の平行線とによってできる平行四辺形は何個あるか。 解 90個 2組の対辺が平行な四角形は平行四辺形になるので 6本の平行線の中から2本、4本の平行線の中から2本を選べばOKです。 ₆C₂・₄C₂ ＝6・5÷2！・4・3÷2！ ＝15・6 ＝9…

正七角形について、次の数を求めよ。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の個数 解 (1) 35個 7つの頂点から3つを選べばよいので ₇C₃＝7・6・5÷3！＝35通りになります。 ＊3つの点で三角形ができな…

(1) 8枚の絵はがきから5枚を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が3回出る場合は何通りあるか。 解 (1) 56通り ₈C₅＝₈C₃＝8・7・6÷3！＝56通りになります。 ＊PとCの違いについて 例えばA,B,C,D,Eという5の文字がある場合 Pではその…

次の値を求めよ。ただし、(6)のｎは正の整数とする。 (1) ₆C₃ (2) ₇C₇ (3) ₇C₁ (4) ₅C₀ (5) ₅₀C₄₇ (6) n+1 C n-1 解 (1) 20 Cの左にある数字からスタートしてCの右にある数字の分の積を求めます。 その際数字は1ずつ小さくしていきます。 今回はCの左が6で、…

右図(下図)の円板の6個の各部分を、すべて異なる色で塗り分ける。 次の各場合では、塗り分ける方法は何通りあるか。 ただし、回転して同じになるときは、同じ塗り方とみなす。 (1) 6色を用いる。 (2) 全7色の中から6色を用いる。 解 (1) 180通り 中心の円の…

(1) 5人を3つの部屋A,B,Cに入れる方法は何通りあるか。 ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 (2) 5人を3つの組A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。 解 (1) 243通り 1人目はAかBかCの3通り 2人目もAかBかCの3通り 3人目、4人目、、、5人目も…

(1) 10人を2つの部屋A、Bに入れる方法は何通りあるか。 ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする。 (2) 10人を2つの組A、Bに分ける方法は何通りあるか。 (3) 10人を2つの組に分ける方法は何通りあるか。 解 (1) 1024通り 1人目はAかBの2通り、2…

9個の要素をもつ集合Aの部分集合の総数を求めよ。 また、Aの2個の特定の要素を含むAの部分集合の総数を求めよ。 解 512、128 9個の要素が部分集合に入る・入らないの2通りを考えるので 2⁹＝512となります。 特定の2つの要素は部分集合に”入る”の1通り、 残り…

4個の数字0,1,2,3,を使ってできる次のような自然数は何個あるか。 (1) 3桁の自然数 (2) 3桁以下の自然数 (3) 123より小さい自然数 解 (1) 48個 百の位は0以外の3個から1個を選ぶので3通り 十の位と一の位は4個から1個選ぶので各4通り よって 3・4・4＝48個に…

正三角柱の5つの面を青、白、赤、黄、緑の5色すべてを使って塗り分ける方法は何通りあるか。 解 20通り 上の面は5色から1色を選ぶので5通り 下の面は残り4色から選ぶので4通り 側面は残り3色を円順列で考えればOKです。 ただし上下を逆にしても同じと見なす…

色の異なる7個の玉を糸でつないで首飾りにする方法は何通りあるか。 解 360通り 7個で円順列を考えればOKです。 ただし、首飾りの場合は裏返すと同じと考えるので÷2をします。 (7－1)！÷2 ＝6！÷2 ＝720÷2 ＝360通りとなります。 HPやYoutubeはこちらからど…

8人の中から選ばれた5人が円形状に並ぶとき、並び方は何通りあるか。 解 1344通り 5カ所に8人の中から1人ずつ並べていくと 1カ所目は8通り 2カ所目は7通り 3、4、5カ所目も同様にすると8・7・6・5・4=₈P₅通りになります。 しかし、円形状に並べた5人を配置を…

男子4人、女子4人が手をつないで輪を作るとき、 次のような並び方は何通りあるか。 (1) 女子4人が続いて並ぶ。 (2) 男女が交互に並ぶ。 解 (1) 576通り 女子4人をひとかたまりと考え、5人の円順列で解きます。 5人の円順列は(5ー1)！、 さらに女子4人の並び…

大人2人と子ども8人が円形のテーブルに着席するとき、 次のような並び方は何通りあるか。 解 (1) 80640通り 大人2人を1かたまりと考えて9人で円順列を考えます。 その後大人2人の位置を入れ替えた場合もあるので×2します。 (9－1)！・2 ＝8！・2 ＝40320・2 …

集合{1,2,3,4,5,6}の部分集合の個数を求めよ。 解 64個 部分集合は集合に含まれる要素を任意の個数取り出したものです。 例えば{1}、{3,4,5}、{1,2,5,6}などです。 今回は任意の要素が部分集合に入るか・入らないかの2通りを考えればOKです。 1は部分集合の…

7人を、2つの部屋A、Bに入れる方法は何通りあるか。 ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 解 128通り 1人目はAかBの2通り 2人目もAかBの2通り 3人目、4人目、、、7人目も同様に2通りなので 2・2・2・2・2・2・2＝128通りになります。(2⁷) H…

2種類の記号○と×を、重複を許して次のように並べる方法は何通りあるか。 (1) 合計6個の記号を並べる。 (2) 1個以上6個以下の記号を並べる。 解 (1) 64通り 1個目の記号は○か×の2通り 2個目の記号も○か×の2通り 3個目、4個目、5個目、6個目も同様に2通りなの…

5人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。 解 243通り 1人目はグー・チョキ・パーの3通り 2人目もグー・チョキ・パーの3通り 3人目もグー・チョキ・パーの3通り 4人目もグー・チョキ・パーの3通り 5人目もグー・チョキ・パーの3通り よって…

同じ数字を重複してもよいとすると、1,2,3,4,5,6の6種類の数字を用いてできる3桁の整数は何個あるか。 解 216個 百の位は6種類から1種類選ぶので6通り 十の位も6種類から1種類選ぶので6通り 一の位も6種類から1種類選ぶので6通り よって 6・6・6＝216通りに…

8人が手をつないで輪を作る方法は何通りあるか。 解 5040通り 8カ所のうちスタートの位置を決め、そこから一人ずつ並べていくので8！通り、 スタートの位置は8通りあるが人の並びが同じ場合、同じ並び方と考えるので 8！÷8＝5040通りとなります。 円順列の公…

右(下)の図のように6等分した正六角形の各部分を、異なる6色の絵の具を全て使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して同じになるときは、同じ塗り方とみなす。 解 120通り 任意の頂点から順番に1色ずつ色を決めていくと6！通りになる。 しかし、…

A,B,C,D,E,Fの6文字を全て使ってできる順列を、 ABCDEFを1番目として、辞書式に並べるとき、次の問いに答えよ。 (1) 140番目の文字列を求めよ。 (2) FBCDAEは何番目の文字列か。 解 (1) BAFCED A▢▢▢▢▢の状態を考えると▢5個の並べ方は5！で120通りあります。 …

equationsという単語の文字をすべて使って順列を作るとき、 次の問いに答えよ。 (1) 少なくとも一端に子音の文字がくるものは何通りあるか。 (2) eとaの間に文字が2つあるものは何通りあるか。 解 (1) 262080通り 子音はq,t,n,sの4個 母音はe,u,a,i,oの5個 …

男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ方法は何通りあるか。 解 1152通り 左端を男子から始めると4人から1人を選ぶので4通り 次は女子が4通り 次は男子が3通り 次は女子が3通り 以下同様にすると 4・4・3・3・2・2・1・1となる 左端は男子か女子の2通りある…

女子5人、男子3人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。 (1) 女子5人が続いて並ぶ。 (2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。 (3) 両端が男子である。 (4) どの男子も隣り合わない。 解 (1) 2880通り 女子5人をひとかたまりと考えます。 そうする…

6個の数字1,2,3,4,5,6から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、 次のような整数は何個あるか。 (1) 4300より大きい整数 (2) 5000より大きい偶数 解 (1) 156個 千の位の数字に着目して場合分けします。 (ⅰ) 5▢▢▢と6▢▢▢の場合 千の位は5か6の2通り 百…

5個の数字0,1,2,3,4を使ってできる3桁の整数のうち、次のような整数は何個あるか。 ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 偶数 (2) 3の倍数 解 (1) 30個 偶数になる時は、一の位が0,2,4になる場合があるので場合分けをして考えます。 (ⅰ) 一の位が…

6個の数字0,1,2,3,4,5を使ってできる、次のような整数は何個あるか。 ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 6桁の整数 (2) 6桁の整数で5の倍数 解 (1) 600個 十万の位は0以外の5個から1個選ぶので5通り 一万の位は十万の位の数字以外の4個と0のあ…

5人乗りの車に5人が乗車してドライブをするとき、乗り方は何通りあるか。 次の各場合について求めよ。 (1) 5人全員が運転免許を持っている場合 (2) 5人のうち3人だけが運転免許を持っている場合 解 (1) 120通り 1人目は5カ所から座る場所を1カ所選ぶので5通…