100本の中に10本の当たりがあるくじを、A、Bの2人がこの順に1本ずつ引く。 引いたくじはもとに戻さないとき、次の確率を求めよ。 (1) Aが当たりくじを引いたとき、Bが当たりくじを引く確率 (2) Aがはずれくじを引いたとき、Bが当たりくじを引く確率 (3) Aが…

箱Aには赤玉が2個、箱Bには赤玉と白玉が1個ずつ、箱Cには白玉が2個入っている。無作為に1つの箱を選んで玉を1個取り出したら赤玉であった。このとき、選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である確率を求めよ。 解 2/3 1個目が赤玉になるのは、Aの2通りとBの1通…

白玉8個と赤玉4個が入った袋から玉を1個ずつ、計2個取り出すとき、最初の玉が白である事象をA、2番目の玉が赤である事象をBとする。次の確率を求めよ。ただし、取り出した玉はもとに戻さないものとする。 (1) PA(B) (2) PA(B￣) (3) PA￣(B￣) 解 (1) 4/11 P…

ある試行における事象A、Bについて、次の確率を求めよ。 (1) P(A∩B)＝0.3、P(A)＝0.6、P(B)＝0.5、のとき PA(B)、PB(A) (2) PA(B)＝0.4、P(A∩B)＝0.3のとき P(A) 解 (1) PA(B)＝0.5、PB(A)＝0.6 PA(B)はAに含まれるもののうち、Bにも含まれるものです。 Aに…

ある大学の受験生のうち、全体の64％が合格者で、全体の40%が男子の合格者であった。合格者の中から1人を選ぶとき、その人が男子である確率を求めよ。 解 5/8 受験生が100人(100%)いたと考えてみます。 合格者64人(64%)のうち40人(40％)が男子合格者なので 4…

血液型がA型、B型のどちらかである100人を調べたところ、男子64人、女子36人で、そのうちA型の人は男子40人、女子13人である。次の確率を求めよ。 (1) この中から選ばれた1人が女子のとき、その人がA型である確率 (2) この中から選ばれた1人がB型のとき、そ…

1個のさいころを7回投げるとき、1の目が3回、2の目が2回、その他の目が2回出る確率を求めよ。 解 35/2916 1の目が出るタイミングを7回から3回選ぶので₇C₃ 残り4回の中から2の目が出るタイミングを2回選ぶので₄C₂ 1の目が出る確率は1/6、3回あるので(1/6)³ 2…

硬貨を何回か投げ、先に表が2回出るとAの勝ちとし、先に裏が4回出るとBの勝ちとするゲームを考える。次の確率を求めよ。 (1) 5回目にBが勝つ確率 (2) A、Bそれぞれの勝つ確率 解 (1) 1/8 4回目までに表が1回、裏が3回出て、5回目に裏が出ればよい 4回中表が…

右(下)の図のような碁盤の目の道路(各碁盤の目の東西間、南北間の距離はすべて等しい)がある。甲、乙2人が、それぞれA地点、B地点を同時に出発し、甲はBに、乙はAに向かって同じ早さで進むものとする。ただし、2人とも最短距離を選ぶものとし、2通りの選び方…

ある製品が大量にあり、工場Aで製造したものと工場Bで製造したものが3：7の割合で混ざっている。この中から無作為に3個の製品を取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) Aの製品が2個の確率 (2) Aの製品が1個または3個の確率 解 (1) 189/1000 3個から2個を選ぶ…

1個のさいころを投げて、1または2の目が出れば50円もらえ、その他の目が出れば20円支払うゲームがある。さいころを6回投げて、もらう金額が160円になる確率を求めよ。 解 20/243 1,2の目が4回、その他の目が2回出ればOKです。 1,2の目が出るタイミングを6回…

数直線上を動く点Pが原点の位置にある。1個のさいころを投げて、1,2,3,4の目が出たらPは正の向きに2だけ進み、5,6の目が出たらPは負の向きに1だけ進む。さいころを4回続けて投げたとき、点Pの座標ｐが次のようになる確率を求めよ。 (1) p＝8 (2) p＝2 (3) p…

A、Bの2人がそれぞれ1個のさいころを4回ずつ投げる。2人とも、3または6の目が3回以上出る確率を求めよ。 解 1/81 (ⅰ) 3か6の目が3回出る場合 (ⅱ) 3か6の目が4回出る場合 の2パターンに分けて考えます。 (ⅰ) 3か6の目が3回出る場合 3か6の目が3回出るタイミン…

5本の当たりくじが入っている20本のくじから、1本を引いてもとに戻すことを5回繰り返すとき、少なくとも2回は当たりくじを引く確率を求めよ。 解 47/128 余事象を使って求めましょう。 全体から (ⅰ) 5回ともはずれの場合 (ⅱ) 1回だけ当たりの場合 の2パター…

白玉3個、赤玉6個が入っている袋から玉を1個取り出し、 色を調べてからもとに戻すことを6回続けて行うとき、次の確率を求めよ。 (1) 白玉がちょうど2回出る確率 (2) 白玉が5回以上出る確率 (3) 6回目に2度目の白玉が出る確率 解 (1) 80/243 白玉が出るタイミ…

1個のさいころを4回続けて投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 1の目がちょうど2回出る確率 (2) 奇数の目がちょうど3回出る確率 解 (1) 25/216 1の目が出るタイミングを4回の中から2回選ぶので₄C₂ 1の目が出る確率は1/6、2回なので(1/6)² 1以外の目が出る確…

1個のさいころを4回続けて投げるとき、次の確率をもとめよ。 (1) 出る目の最小値が4以上である確率 (2) 出る目の最小値が4である確率 解 (1) 1/16 4回とも4以上の目が出る場合を求めます。 さいころを1回投げたとき4以上の目が出る確率は3/6＝1/2 これが4回…

A、B、Cの3人がある検定試験に合格する確率が、それぞれ3/4、1/2、5/8であるとする。3人のうち、少なくとも1人が合格する確率を求めよ。 解 61/64 全員が試験に不合格の場合を求めて、余事象を使いましょう。 Aが合格する確率は3/4なので、不合格の確率は1/4…

3人が3回じゃんけんをするとき、すべてあいこになる確率を求めよ。 解 1/27 3人で1回じゃんけんをするときを考えます。 手の出し方は3・3・3＝27通りです。 あいこになるのは 全員がグー・チョキ・パーを出したとき、3通り 全員が異なる手を出すとき、3！＝6…

Aの袋には白玉5個、黒玉4個、Bの袋には白玉3個、黒玉5個が入っている。 A、Bの袋から1個ずつ玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) Aからは白玉が、Bからは黒玉が出る確率 (2) 2個の玉の色が同じである確率 (3) 2個の玉の色が異なる確率 解 (1) 25/72 A…

1個のさいころを3回続けて投げるとき、1回目は素数の目、2回目は6の約数の目、3回目は2以下の目が出る確率を求めよ。 解 1/9 素数は2、3、5なので 1回目に素数の目が出る確率は3/6 6の約数は1、2、3、6なので 2回目に6の約数が出る確率は4/6 3回目に2以下の…

白玉6個、赤玉2個が入った袋から玉を1個取り出し、 色を調べてからもとに戻すことを3回行うとき、次の確率を求めよ。 (1) 白、赤、白の順に出る確率 (2) 3回目に初めて白が出る確率 解 (1) 9/64 1回目に白が出る確率は6/8 2回目に赤が出る確率は2/8 3回目に…

ジョーカーを除く1組52枚のトランプから1枚抜き取り、 カードを見てからもとに戻すことを2回行うとき、次の確率を求めよ。 (1) 2回ともハートが出る確率 (2) 2回目に初めてハートが出る確率 解 (1) 1/16 52枚中13枚がハートなので 1枚目にハートを引く確率は…

Aの袋には白玉が7個、赤玉が3個、Bの袋には白玉が6個、赤玉が4個入っている。 Aから玉を1個、Bから玉を2個同時に取り出すとき、全部が白玉である確率を求めよ。 解 7/30 Aから白を取り出す確率は7/10 B1個目が白なのは6/10 B2個目が白なのは5/9 Bが両方とも…

大小2個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 2個とも偶数の目が出る確率 (2) 大は偶数の目が出て、小は5以上の目が出る確率 解 それぞれの試行が互いに独立である場合は、 各試行の確率の積により求めていきます。 (1) 1/4 偶数の目は2,4,…

4本の当たりくじが入っている10本のくじから、1本のくじを引く試行をS、続いてもう1本のくじを引く試行をTとする。次のような場合、SとTは独立であるか。 (1) Sで引いたくじをもとに戻す。 (2) Sで引いたくじをもとに戻さない。 解 (1) 独立である Sの試行で…

ある試行における2つの事象A,Bについて、 P(A)＝0.5、P(B)＝0.3、P(A∪B)＝0.6であるとき、次の問いに答えよ。 (1) P(A∩B)、P(A∩B￣)、P(A￣∩B)を求めよ。 (2) A、Bのどちらか一方だけが起こる事象を、A,B,∪,∩,￣を用いて表せ。 また、その事象が起こる確率を…

1個のさいころを3回投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 何回目かにその回の番号と同じ目が出る確率 (2) どの回にもその回の番号と同じ目が出ないで、しかも1の目が1回も出ない確率 解 (1) 91/216 まず全通りは6・6・6＝216通りになります。 今回は、その回…

101から500までの番号札が各1枚ずつある。この札から1枚を取り出すとき、 その番号が6でも9でも割り切れない確率を求めよ。 解 311/400 番号札は400枚あるので全通りは400通りになります。 余事象を使って求めていきましょう。 まず6で割れる数をもとめます…

3個のさいころを同時に投げるとき、次のような目が出る確率を求めよ。 (1) 少なくとも2個の目は等しい (2) 3個の目の積が偶数 解 (1) 4/9 まず全通りは6・6・6＝216通りになります。 次に余事象を使って求めていきます。 全体から”3個の目が異なる”場合を引…