次のものの総数を求めよ。 (1) 1から7までの数字から異なる5個を選んで作る5桁の整数 (2) triangleという単語の8個の文字全部を使ってできる文字列 解 (1) 2520 一万の位は1～7の7通り、 千の位は一万の位で選んだ数以外の6通り 百の位は一万、千の位の数以…

次の値を求めよ。ただし、(5)のｎは3以上の整数とする。 (1) ₅P₃ (2) ₄P₁ (3) ₇P₇ (4) 5! (5) ｎＰ₃ ｎは小さい文字です。 解 (1) 60 Ｐの計算方法 Ｐの左の数字からスタートして右の数字の個数分の数字の積を求めます。 そのとき数字は1ずつ小さくします。 …

10円、50円、100円の3種類の硬貨を使ってちょうど250円支払うには何通りの方法があるか。ただし、どの硬貨も十分な枚数があり、使わない硬貨があってもよいものとする。 解 12通り 金額の大きい100円硬貨の枚数で場合分けして考えます。 (ⅰ) 100円硬貨を2枚…

次の場合硬貨の一部または全部を使って、 ちょうど支払うことができる金額は何通りあるか。 (1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚 (3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚 (1) 39通り 10円硬貨の使…

右(下)の図を、Aを出発点として一筆で書く方法は何通りあるか。 解 48通り はじめに通る輪は3つから1つ選ぶので3通り、 そのときに右回りor左回りを選べるので×2となります。(この時点で3×2=6通り) 次に残った2つの輪から1つを選ぶので2通り、 右回りor左回…

梨4個、柿2個、桃2個から6個だけ取り出す方法は何通りあるか。 ただし、取り出さない果物があってもよいものとする。 解 6通り 具体的に取り出す6個の果物を書き出してもよいが、 選ばれない2個を書き出した方が楽なのでその作戦で解きます。 選ばれない2個…

正四面体の1つの面を下にしておき、1つの辺を軸として3回転がす。 2回目以降、直前にあった場所を通らないようにするとき、次の数を求めよ。 (1) 転がし方の総数 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数 解 (1) 12通り 正四面体の面は三角形なので一回目に…

大中小3個のさいころを投げるとき、次のようになる場合は何通りあるか。 (1) 目が全て異なる。 (2) 少なくとも2個が同じ目 (3) 目の積が3の倍数 (4) 目の和が奇数 解 (1) 120通り 大のさいころは1～6から1つ、中のサイコロは大のさいころで選ばなかった5つか…

2桁の自然数のうち、各位の数の積が偶数になる自然数は何個あるか。 解 65個 積が偶数になる場合を数えていくのは大変なので、全体から積が奇数になる場合を引く作戦でいきます。 まず、2桁の自然数の個数を考えます。 2桁の自然数は10～99の90個あります。 …

次の数の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。 (1) 5・2³ (2) 108 (3) 540 解 (1) 個数8個、総和90 5=1・5で2通り、2³=1・2・2・2で4通り なので2×4=8個になります。 ＊5の方は1か5の2通り、2³は1か2¹か2²か2³の4通り 各指数+1をかけ算すればOKです。…

(1) a,b,c,d,eの5冊の数学の参考書の中から1冊、p,q,rの3冊の英語の参考書の中から1冊、合計2冊を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) (a+b)(p+q)(x+y+z+u)を展開した式の項は何個あるか。 解 (1) 15通り 数学は5冊から1冊、英語は3冊から1冊を選べばよいので 5×3=…

A市とB市は異なる5つの鉄道で結ばれている。A市からB市まで行って帰るのに、次の各場合、利用する鉄道の選び方は何通りあるか。 (1) 往復で同じ鉄道を利用してよい。 (2) 往復で同じ鉄道は利用しない。 解 (1) 25通り 行きに選べる鉄道は5つ、帰りに選べる鉄…

大小2個のさいころを投げるとき、次のようになる場合は何通りあるか。 (1) 目の和が5または6 (2) 目の和が3の倍数 (3) 目の和が5以下の数 (4) 目の積が20以上の数 解 (1) 9通り マス目を書いて5と6になるときを数えればOKです。 (2) 12通り 3の倍数は3、6、9…

次の場合は何通りあるか。 (1) 大小2個のさいころを投げるとき、目の和が6になる場合 (2) 大中小3個のサイコロを投げるとき、目の和が7になる場合 解 (1) 5通り マス目を書いて数えるのが簡単です。 (大，小)=(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)の5通り…

1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回または裏が3回でたところで終了する。表と裏の出方は何通りあるか。 解 20通り 樹形図で解くのが簡単です。 樹形図を使わないと以下の方法になります。 (ⅰ) 3回で終了の場合 表表表の1通り (ⅱ) 4回で終了の場合 裏表表表、…

6個の文字a,a,a,b,b,cから、3個を選んで1列に並べる場合を全て求めよ。 解 19通り 樹形図を使う方法が簡単ですが、私は樹形図を書くのがあまり好きではないので計算でだしてみます。 (ⅰ) a○○の場合 1つめの○にはaかbかcの3通り、2つめの○もaかbかcの3通りな…

68人にA、B、Cの3都市への旅行の経験を調査したところ、全員がA、B、Cのうち少なくとも1つへは行ったことがあった。また、BとCの両方、CとAの両方、AとBの両方へ行ったことがある人の人数は、それぞれ21人、19人、25人であり、BとCの少なくとも一方、CとAの…

1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。 (1) 2、3、7の少なくとも1つで割り切れる数 (2) 2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数 解 (1) 72個 2で割れる数・・・100÷2=50個 3で割れる数・・・100÷3=33個あまり1 7で割れる数・・・100÷7…

海外旅行者100人のうち、75人がカゼ薬を、80人が胃薬を携帯していた。 次のような人は、最も多くて何人か。また、最も少なくて何人か。 (1) カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人 (2) カゼ薬と胃薬を両方とも携帯していない人 解 (1) 最も多い・・・75人 カゼ薬…

ある地区で、新聞Aを購読している世帯は全体の50％、新聞Bを購読している世帯は全体の60％、両方を購読している世帯は全体の30％、どちらも購読していない世帯は8世帯であった。このとき、Aだけ購読している世帯は全体の何％か。また、この地区の世帯数を求…

60人の生徒に数学と英語の試験を行った。数学の合格者は50人、英語の合格者は30人、2教科とも不合格であった者は8人であった。 (1) ２教科とも合格した人は何人か。 (2) 数学だけ合格した者は何人か。 解 (1) 28人 全体が60人、両方とも不合格が８人なので、…

500以上1000以下の整数のうち、次のような数は何個あるか。 (1) 11の倍数でない整数 (2) 11の倍数であるが3の倍数でない整数 解 (1) 456個 1000以下の整数で11の倍数であるものは、1000÷11=90あまり10なので90個ある。同様にして500未満の整数の中で11の倍数…

全体集合Uと、その部分集合A、Bに対して、 n(U)=50、n(A∪B)=42、n(A∩B)=3、n(A￣∩B)=15 であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。 (1) A￣∩B￣ (2) A∩B￣ (3) A 解 与えられた情報を図示します。 (1) 8個 A￣∩B￣はどちらにも属さないものが求められればO…

50人の人に、AとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、A・Bをともに正解した人は4人いた。 (1) AとBの少なくとも一方を正解した人は何人いるか。 (2) AもBも正解しなかった人は何人いるか。 (3) Aだけ正解した人は何…

1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。 (1) 8の倍数 (2) 12の倍数 (3) 8で割り切れない数 (4) 8の倍数であるが、12の倍数でない数 (5) 8でも12でも割り切れない数 (6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数 解 (1) 12個 8の倍数は8,16…

1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。 (1) 2で割り切れる数 (2) 9で割りきれる数 (3) 2と9の両方で割りきれる数 (4) 2と9の少なくとも一方で割りきれる数 解 (1) 50個 2で割れる数は偶数であり、1から100の中には奇数と偶数が50個ずつある…

A={1,3,3a-2}、B={-5,a+2,a²-2a+1}、A∩B={1,4}のとき、 定数aの値と和集合A∪Bを求めよ。 解 A∩B={1,4}よりAの要素には1,4が含まれることがわかる。Aの要素に1はあるが、4は見当たらないので、3a-2の正体が4ということになる。 3a-2=4よりa=2である。 A,Bの要…

U={x|1≦x≦10,xは整数}を全体集合とする。 Uの部分集合 A={1,2,3,4,8}、B={3,4,5,6}、C={2,3,6,7} について、次の集合を求めよ。 (1) A∩B∩C (2) A∪B∪C (3) A∩B∩C￣ (4) A￣∩B∩C￣ (5) A￣∩￣B￣∩￣C￣ (6) (A∪B)∩B￣ 解 まずはしっかり図示しましょう。 ちな…