A,B2人の試合において、先に3勝した方に賞金400円が与えられる。ところが、Aが2勝、Bが1勝したところで、以後の試合を中止した。そこで、試合を続行するとしたときの、A,Bそれぞれの得る賞金額の期待値を分配することにした。賞金をどのように分配すればよいか。ただし、A,Bの勝つ確率はいずれも1/2とする。
解 Aに300円、Bに100円
A,Bが試合に勝つ確率をそれぞれ求めて期待値を考えます。
Aが試合に勝つのは以下の2パターンです。
(ⅰ) 4試合目に勝つ
(ⅱ) 4試合目に負けて、5試合目に勝つ
(ⅰ) 4試合目に勝つ場合
Aが試合に勝つ確率は1/2
(ⅱ) 4試合目に負けて、5試合目に勝つ
試合に負ける確率は1/2、勝つ確率も1/2なので
1/2・1/2＝1/4
(ⅰ)(ⅱ)より、Aが勝つ確率は
1/2＋1/4＝3/4となります。
また、Aが負ける確率は1ー3/4＝1/4となります。
さらに、
Aが勝つ確率＝Bが負ける確率
Aが負ける確率＝Bが勝つ確率 に気づけば
Bが勝つ確率＝1/4
Bが負ける確率＝3/4 となります。
賞金と確率を表にまとめると
Aの場合
表より
400・3/4＋0・1/4
＝300円がAの賞金となります。
Bの場合
表より
400・1/4＋0・3/4
＝300円がBの賞金になります。
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