4STEP
nは3以上の自然数とする。さいころをn回投げるとき、 1の目がちょうど3回出る確率をｐnとする。 (3) pnが最大となるときのｎをすべて求めよ。 解 (3) 17、18 (2)より、 ｐn-1/ｐn＞1のとき、ｎ＜17 ｐn-1/ｐn＞1はｐn＜ｐn-1と表すことができる。 ｐn-1/ｐn…
nは3以上の自然数とする。さいころをn回投げるとき、 1の目がちょうど3回出る確率をｐnとする。 (2) ｐn-1/ｐn＞1を満たすｎの最大値を求めよ。 解 (2) 16 さいころをｎ回投げて、3回1の目が出る確率は ｎ回中、3回1の目が出るタイミングを選ぶのでnC₃ 1の目…
nは3以上の自然数とする。さいころをn回投げるとき、 1の目がちょうど3回出る確率をｐnとする。 (1) p₄を求めよ。 解 (1) 5/324 n=4なので問題は さいころを4回投げるとき、 1の目がちょうど3回出る確率を求めよ。と言うことになる。 1の目が出るタイミング…
4人で1回だけじゃんけんをする。 (3) このじゃんけんにおける勝者の人数の期待値を求めよ。 解 (3) 28/27 各人数とその期待値を表のようになります。 勝者1人の場合は(1)より、パーを出して勝者になる確率は4/81 グー・チョキのときも同様に考えると4/81・3…
4人で1回だけじゃんけんをする。 (2) あいこにならずに勝負が決まる確率を求めよ。 解 (2) 14/27 (1)よりパーをだして勝者になる確率は 4/81＋6/81＋4/81＝14/81であることがわかります。 同様に、グー・パーのときもそれぞれ14/81と考えられるので 14/81・3…
4人で1回だけじゃんけんをする。 (1) パーを出した者が勝者で、その勝者数が1人、2人、3人である確率をそれぞれ求めよ。 解 (1) 1人の場合・・・4/81 2人の場合・・・2/27 3人の場合・・・4/81 ・勝者1人の場合 手の出し方はグー・チョキ・パーの3通り 4人い…
3個のさいころを同時に投げるとき、以下の確立を求めよ。 (3) 出る目の最大値が4であるとき、 少なくとも1個のさいころの目が1である確率は▢である。 解 (3) 18/37 (2)より最大値が4の確率は37/216 つまり37通りです。 このうち1が含まれているものがわかれ…
3個のさいころを同時に投げるとき、以下の確立を求めよ。 (2) 出る目の最大値が4である確率は▢である。 解 (2) 37/216 (1)から最大値が3以下になる場合を取り除けばOKです。 3以下の目が出る確率は3/6(＝1/2) 3個のさいころとも同じ確率なので (1/2)³＝1/8 (…
3個のさいころを同時に投げるとき、以下の確立を求めよ。 (1) 出る目の最大値が4以下である確率は▢である。 解 (1) 8/27 1～6の目のうち、1～4の4つだけが出ると考えると 4以下の目が出る確率は4/6(＝2/3) 3個ともこの確率になるので (2/3)³＝8/27となります…
定員2名、3名、4名の3つの部屋がある。 (2) 7人の学生のみを、これらの3つの部屋に定員を超えないように入れる入れ方はゥ▢通りである。ただし、誰も入らない部屋があってもよい。 解 (2) 805通り (1)ァより教授2人が同じ部屋に入る場合は350通り、 (1)ィより…
定員2名、3名、4名の3つの部屋がある。 (1) 2人の教員と7人の学生の合計9人をこれらの3つの部屋に定員どおりに入れる入れ方はァ▢通りである。 また、そのなかで2人の教授が異なる部屋に入る入れ方はィ▢通りである。 解 (1) ァ1260通り ィ910通り 9人から2人…
1から5までの番号が1つずつかかれたカード5枚と1から5までの番号が1つずつ書かれた箱5つがある。それぞれの箱にカードを1枚ずつ入れるとき、以下の場合の数を求めよ。 (2) 入れられたカードの番号と同じ番号が書かれた箱がちょうど1つある。 解 (2) 45通り 1…
1から5までの番号が1つずつかかれたカード5枚と1から5までの番号が1つずつ書かれた箱5つがある。それぞれの箱にカードを1枚ずつ入れるとき、以下の場合の数を求めよ。 (1) 入れられたカードの番号と同じ番号が書かれた箱がちょうど2個ある。 解 (1) 20通り 1…
1から9までの整数が1つずつ書かれたカードが9枚ある。この中から7枚のカードを無作為に取り出して得られる7つの整数のうちの最大のものをXとする。Xの期待値を求めよ。 解 35/4 カードの取り出し方を考えると、取り出したカードの中に7,8,9のいずれかが1つ以…
10本のくじの中に3本の当たりくじと1本のチャンスくじがある。A、Bの順に1回ずつくじを引くとき、次の確率を求めよ。ただし、チャンスくじを引いたときに限り、引き続きもう1回引くものとする。また、くじは1回に1本ずつ無作為に引き、もとに戻さないとする…
点Pは正三角形ABCの辺に沿って頂点を移動できる。このとき、次の操作を考える。 (操作) 2枚の硬貨を同時に投げる。表が2枚出れば、点Pは時計回りに隣の頂点に動く。表が1枚だけ出れば、点Pは反時計回りに隣の頂点に動く。表が出なければ、点Pは動かない。 こ…
平面上に8本の直線があり、そのいずれの3本も1点で交わることがない。 この8本のうち2本だけが平行であるとき、それら8本の直線によってできる三角形は何個あるか。 解 50個 線を3本選べば三角形が作れるので₈C₃＝56通り 選んだ3本の中に平行な2直線が含まれ…
本棚に異なる本が7冊ある。その中から、少なくとも1冊以上何冊でも好きなだけ本を取り出すとすれば、その取り出し方は何通りあるか。 解 127通り 各本について”取り出す”か”取り出さない”の2択を考えればOKです。 7冊あるので、2⁷＝128通り この中に7冊すべ…
A,B2人の試合において、先に3勝した方に賞金400円が与えられる。ところが、Aが2勝、Bが1勝したところで、以後の試合を中止した。そこで、試合を続行するとしたときの、A,Bそれぞれの得る賞金額の期待値を分配することにした。賞金をどのように分配すればよい…
1個のさいころを1回投げて、出た目を得点とする。 ただし、出た目を確認した後で選択(A)をすることができる。 (A) あと2回さいころを投げて、そこで出た目の差の2倍を得点とする。 最初にさいころを投げて4の目が出たとき、より高い得点にするためにはこの選…
赤玉3個、白玉2個が入った袋から玉を1個取り出してはもとに戻すことを3回繰り返す。次の2つの場合のうち、どちらの方が得か。 ①赤玉1個につき250円をもらう。 ②白玉が2個出たときだけ2000円をもらう。 解 ②の方が得 まず①の期待値を求めます。 もらえる金額…
白玉2個、黒玉5個、赤玉3個が入っている袋から玉1個を取り出し、白玉が出たら1000円、黒玉が出たら100円もらえ、赤玉が出たら800円を支払うゲームがある。ゲームの参加料が0円であるとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。 解 得であるといえ…
3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出たら100点、2枚出たら50点を獲得し、1枚の時は60点を、1枚も出ないときは70点を失うものとする。1回硬貨を投げるときの得点の期待値を求めよ。 解 0点 各得点と確率をまとめると以下の表のようになります。 表3回(100点)…
2個のさいころを同時に投げるとき、2個の目の積の期待値を求めよ。 解 49/4 2個のさいころの目の積は下の表のようになります。 積とその確率をまとめると 1・1/36＋2・2/36＋3・2/36＋4・3/36＋5・2/36＋6・4/36 ＋8・2/36＋9・1/36＋10・2/36＋12・4/36＋15…
3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出たときは80点、2枚出たときは40点、1枚以下の時は0点を得点として与えるゲームがある。このゲームの得点の期待値を求めよ。 解 25点 表にまとめると以下のようになります。 表が3枚出る(80点)確率は、(1/2)³＝1/8 表2回、…
シュートの成功率が2/3であるバスケットボール選手がいる。この選手が4回シュートをしたとき、シュートが成功する回数の期待値を求めよ。 解 8/3回 表にまとめると次のようになります。各値の求め方は表の下に記載します。 (ⅰ) 成功回数0回の確率 成功率2/3…
総数1000本のくじの中に、1等10000円1本、2等1000円2本、3等100円10本の当たりくじがあり、残りの987本ははずれくじである。このくじ1本を引くとき、賞金額の期待値を求めよ。ただし、はずれの場合の賞金は0円とする。 解 13円 期待値は各値とその確率の積を…
5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月にA、B、C3軒を順に年始回りをして家に帰ったところ、帽子を忘れてきたことに気がついた。2番目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。 解 20/61 家Aで忘れる確率は1/5(＝25/125) 家Aで忘れず、家B忘れる確率は …
ある電器店が、A社、B社、C社から同じ製品を仕入れた。A社、B社、C社から仕入れた比率は4：3：2であり、製品が不良品である比率はそれぞれ3％、4％、5％であるという。いま、大量にある3社の製品をよく混ぜ、その中から1個抜き取って調べたところ、不良品で…
Aの袋には白玉3個と赤玉2個、Bの袋には白玉2個と赤玉3個、Cの袋には白玉1個と赤玉4個が入っている。1個のさいころを投げて1の目が出たらAの袋を、2、3の目が出たらBの袋を、4～6の目が出たらCの袋を選び、1個の玉を取り出すものとする。取り出された玉が白玉…
