次の確率を求めよ。 (1) 5枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は裏が出る確率 (2) 1から100までの番号をつけた100枚のカードから1枚を取り出すとき、 その番号が6の倍数でない確率 解 (1) 31/32 余事象を使って考えます。 ”少なくとも1枚は裏がでる”…

1から100までの番号をつけた100枚のカードから1枚を取り出すとき、 その番号が5または8で割り切れる確率を求めよ。 解 3/10 カードが100枚あるので全体は100通りです。 5で割り切れる数は100÷5＝20個 8で割り切れる数は100÷8＝12あまり4で12個 そのうち5、8…

15本のくじの中に当たりくじが5本ある。このくじを同時に5本引くとき、 当たりくじが3本以上含まれる確率を求めよ。 解 167/1001 全通りは15本から5本を選ぶので ₁₅C₅＝15・14・13・12・11÷5！＝3003通り 当たりくじが3本以上含まれるときは (ⅰ) 当たり5本 (…

2個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 目の積が12になる確率 (2) 目の積が12の倍数である確率 解 (1) 1/9 さいころの目は1～6なので 全通りは6・6＝36通りで、 積が12になるときは下の表から4通りなので 4/36＝1/9になります。 (2) 7/36…

白玉5個、赤玉4個が入っている袋から、玉を同時に3個取り出すとき、 すべて同じ色が出る確率を求めよ。 解 1/6 まず全通りは9個の玉から3を選べばよいので ₉C₃＝9・8・7÷3！＝84通りになります。 そのうち、すべて同じ色になるのは白3個、赤3個の2パターンが…

2個のさいころを同時に投げるとき、次の事象のうち、互いに排反であるものはどれとどれか。 A：目の和が7 B：目の積が6 C：出る目がともに3以下 解 AとC 互いに排反とは、2つの集合に共通するものがない状態です。 例えばAとBで考えると、 (1,6)の場合、和が…

3個のさいころを同時に投げるとき、次のような目が出る確率を求めよ。 (1) 目の積が150 (2) 目の積が18 (3) 目の積が135以上 解 (1) 1/72 まず全通りは6・6・6＝216になります。 次に積が150になるときを考えます。 150を素因数分解すると 150＝2・3・5・5 …

A,B,C,Dの4人がじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。 (1) Aだけが負ける確率 (2) 1人だけが勝つ確率 解 (1) 1/27 各人の手の出し方はグー、チョキ、パーの3通りなので 3⁴＝81通りが全通りになります。 このうち、Aが負けるときは ・グーを出して負け…

1個のさいころを投げる試行において、｢偶数の目が出る｣、｢3の倍数の目が出る｣、｢素数の目が出る｣という事象をそれぞれA、B、Cとする。このとき、次の事象の起こる確率を求めよ。 (1) A∩B (2) A∪B (3) B∩C (4) C∩A 解 さいころの目は1～6の6通りで、 各事象は…

男子6人、女子2人が、くじ引きで席を決めて円卓を囲んで座るとき、 次のようになる確率を求めよ。 (1) 女子2人が隣り合う。 (2) 女子2人が向かい合う。 解 (1) 2/7 8人の円順列は(8ー1)！＝7！ 女子2人を1人として7人の円順列は(7－1)！＝6！ 女子は位置を入…

A,B,C,D,E,F,G,Hの8文字を無作為に1列に並べるとき、 次のようぬなる場合を求めよ。 (1) 両端がA、Bである。 (2) A、Bが隣り合う。 (3) AはBより左に、BはCより左にある。 解 (1) 1/28 8文字を1列に並べる方法は8！ A、B以外の6文字を1列に並べる方法は6！ A…

白玉6個と赤玉4個が入っている袋から、玉を同時に4個取り出すとき、 次の確率を求めよ。 (1) 白玉3個と赤玉1個が出る確率 (2) 4個すべてが赤玉である確率 解 (1) 8/21 玉の取り出し方は₁₀C₄＝210通りある。 白玉6個の中から3個を選べばよいので₆C₃ 赤玉4個の…

2個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 大きい目から小さい目を引いた差が3になる確率 (2) 目の積が6になる確率 解 (1) 1/6 さいころを2回投げたときは6×6＝36通りある。 そのうち、大ー小が3になるのは (1,4)、(2,5)、(3,6)、 (4,1)、(5…

ジョーカーを除く1組52枚のトランプから1枚を選ぶとき、次の確率を求めよ。 (1) スペードの札である確率 (2) 5の札である確率 解 (1) 1/4 トランプ52枚の内訳は スペード♠・・・1～13の13枚 ハート♥・・・1～13の13枚 ダイヤ♦・・・1～13の13枚 クラブ♣・・…

次の考え方は誤っている。正しい考え方で確率を求めよ。 (1) 3枚の硬貨を同時に投げるとき、(表,裏)の枚数について、 (3,0)、(2,1)、(1,2)、(0,3)の4通りがある。 よって、3枚とも表が出る確率は1/4である。 (2) 2個のさいころを同時に投げるとき、目の積は…

赤玉、白玉、黒玉、緑玉が各1個ずつ入った袋がある。 (1) 玉を同時に2個取り出す試行について、その全事象を求めよ。 (2) (1)の試行において、白玉が出るという事象を求めよ。 解 (1) 気合いで書き出しましょう！ (赤,白)、(赤,黒)、(赤,緑)、 (白,黒)、(白,…

1個のさいころを投げる試行について、次の事象を集合で表せ。 (1) 偶数の目が出る。 (2) 3以上の目が出る。 (3) 8の倍数の目が出る。 解 (1) {2,4,6} 偶数は0、2、4、6、8・・・と続くのでサイコロの目1～6に含まれる2,4,6が答えになります。 (2) {3,4,5,6} …

1個のさいころを3回投げて出る目の数を順にa,b,cとする。 次の場合は何通りあるか。 (1) a＜b＜c (2) a≦b≦c 解 (1) 20通り さいころを3回投げて出た数字を小さい順にa,b,cとすればOKです。 6個の数字から3個を選べばよいので ₆C₃＝6・5・4÷3！＝20通りになり…

(1) 等式x＋y＋z＝7を満たす負でない整数x,y,zの組は、全部で何個あるか。 (2) 等式x＋y＋z＝9を満たす正の整数x,y,zの組は、全部で何個あるか。 解 (1) 36個 ○を7個と区切り線を2本用意して順列を考えればOKです。 全部で9個あるので9！ ○が7個あるので÷7！…

候補者が3人で、投票者が8人いる無記名投票で、1人1票を投票するときの票の分かれ方の総数を求めよ。ただし、候補者は投票できないものとする。 解 45通り 投票者8人と区切り線2本の計10個で順列を考えましょう。 10個を並べるので10！ 投票者が8人いるので÷…

5個のりんごを3人に分配する。1個ももらわない人があってもよいとすると何通りの分け方があるか。また、1人に少なくとも1個は与えるものとするとどうか。 解 1個ももらわない人があってもよいとする・・・21通り 1人に少なくとも1個は与えるものとする・・・…

白玉1個、赤玉4個、青玉6個で環状の首飾りを作る。 (1) 作り方は全部で何通りあるか。 (2) どの2個の赤玉も隣り合わないことにすると、作り方は何通りあるか。 解 (1) 110通り 首飾りの問題は左右対称になる場合と左右対称にならない場合に分けて考えます。 …

DEFENCEの7文字から4文字を取り出すとき、 次のような組み合わせおよび順列は、それぞれ何通りあるか。 (1) Eを3個含む場合 (2) Eを2個だけ含む場合 (3) 4字とも異なる場合 (4) 全ての場合 解 (1) 組み合わせ4通り、順列16通り まずDEFENCEの文字に注目する…

4桁の自然数nの千の位、百の位、十の位、一の位の数字を、 それぞれa,b,c,dとする。次の条件を満たすnは全部で何個あるか。 (1) a＞b＞c＞d (2) a≧b＞c＞d 解 (1) 210個 10この数字から4個を選べばOKです。 選んだ数字を大きい順に並べれば必ず条件に合うも…

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。 (1) OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。 (2) Y,K,H,Mがこの順にあるものは何通りあるか。 解 (1) 144通り OとAが各2個ずつ、計4個あるので 偶数番(2,4,6,8)だけを考えると 4個を1列に並べるので4！ Oが2個あるの…

右(下)のような街路で、PからQまで行く最短経路のうち、次の場合は何通りあるか。 (1) 総数 (2) Rを通る経路 (3) R,Sをともに通る経路 (4) ×印の箇所を通らない経路 解 (1) 792通り PからQに進むには右に移動を7回、上に移動を5回する必要があります。 簡単…

12人の生徒を次のようにする方法は何通りあるか。 (1) 7人、5人の2組に分ける。 (2) 6人、4人、2人の3組に分ける。 (3) 6人ずつの2組に分ける。 (4) 6人ずつの2組に分ける。 (5) 8人、2人、2人の3組に分ける。 (6) 3人ずつの4組に分ける。 解 (1) 792通り 12…

1から20までの20個の整数から、異なる3個を選んで組を作る。 (1) 奇数だけを含んでいる組は何通りできるか。 (2) 奇数も偶数も含んでいる組は何通りできるか。 (3) 3個の数の和が奇数となる組は何通りできるか。 解 (1) 120通り 1から20までの整数のなかで奇…

円に内接する八角形の3個の頂点を結んで三角形を作る。 (1) 八角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。 (2) 八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。 解 (1) 32個 八角形の8本の辺のうち1本を選びます(8通り) その後、選んだ辺の両隣以外の頂点4個…

男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶとき、 次のような選び方は何通りあるか。 (1) 全ての選び方 (2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。 (3) 女子が少なくとも1人選ばれる。 (4) 特定の2人a,bがともに選ばれる。 (5) 特定の2人a,bについて、aは選ば…