4STEP 数学A 円順列・重複順列59

4個の数字0,1,2,3,を使ってできる次のような自然数は何個あるか。

(1) 3桁の自然数

(2) 3桁以下の自然数

(3) 123より小さい自然数

解

(1) 48個

百の位は0以外の3個から1個を選ぶので3通り

十の位と一の位は4個から1個選ぶので各4通り

よって

3・4・4＝48個になります。

(2) 63個

(1)より3桁の自然数は48個

2桁の自然数は3・4＝12個

1桁の自然数は3個

よって

48＋12＋3＝63個になります。

(3) 26個

2桁の自然数(12個)と1桁の自然数(3個)はわかっているので、

3桁の自然数で123以下のものを求めます。

まず10▢、11▢となる場合を考えます。

百の位は1なので1通り

十の位は0か1の2通り

一の位は何を選んでもよいので4通り

よって、1・2・4＝8個

次に12▢を考えます。

百・十の位はそれぞれ1と2の1通り

一の位は0,1,2,3の3通りなので

1・1・3＝3個

よって

12＋3＋8＋3＝26個となります。

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