4STEP 数学A 順列43

女子5人、男子3人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。

(1) 女子5人が続いて並ぶ。

(2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。

(3) 両端が男子である。

(4) どの男子も隣り合わない。

解

(1) 2880通り

女子5人をひとかたまりと考えます。

そうすると、女子1人、男子3人という状態になります。

この状態で並べていきます。

左端は4人から1人選ぶので4通り

左から2番目は残り3人から1人選ぶので3通り

同様に、左から3番目は2通り、左から4番目(右端)は1通り

となります。

この時点で、並び方だけで4・3・2・1＝24通りあります。

さらに女子5人の並び方も考えていきます。

左端は5人から1人選ぶので5通り

左から2番目は4人から1人選ぶので4通り

同様に、左から3番目は3通り、左から4番目は2通り、左から5番目(右端)は1通り

となります。

よって、女子5人の並べ方は5・4・3・2・1＝120通りあります。

全体の並びと女子の並びを組み合わせて考えると

24・120＝2880通りになります。

＊4！・5！で求めることができます。

(2) 1440通り

女子5人をひとかたまり、男子3人をひとかたまりと考えると、

女子1人、男子1人という状態になります。

この状態での並び方は、女男、男女の2通りになります。

女子5人の並びは(1)より5！通り

同様に、男子3人の並びは3！通りになります。

よって2・5！・3！＝1440通りになります。

(3) 4320通り

左端は男子3人から1人を選ぶので3通り、

右端は残り2人から1人を選ぶので2通りになります。

両端以外の人は女子5人と男子1人の計6人を1人ずつ並べていくので6！通りになります。

よって3・2・6！＝432通りになります。

(4) 14400通り

まず女子5人を1列に並べるのは5！通りになります。

次に女子の間(今回は6カ所)に男子3人を並べていきます。

男子1人目は6カ所から1カ所を選ぶので6通り

男子2人目は5通り、男子3人目は4通りになります。

よって、5！・6・5・4＝14400通りになります。

＊6・5・4は₆P₃で表すことができます。

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