4STEP 数学A 順列41

5個の数字0,1,2,3,4を使ってできる3桁の整数のうち、次のような整数は何個あるか。

ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。

(1) 偶数

(2) 3の倍数

解

(1) 30個

偶数になる時は、一の位が0,2,4になる場合があるので場合分けをして考えます。

(ⅰ) 一の位が0のとき

百の位は0以外の4通り

十の位は百の位の数と0以外の3通り

一の位は0の1通り

よって、4・3・1＝12通り

(ⅱ) 一の位が2のとき

百の位は2、0以外の3通り

十の位は百の位の数と2以外の3通り

一の位は2の1通り

よって3・3・1＝9通り

(ⅲ) 一の位が4のとき

(ⅱ)と同様なので9通り

(ⅰ)～(ⅲ)より

12＋9＋9＝30通りとなります。

＊百の位が0になると3桁の整数にならないことに注意して下さい。

(2) 20個

3の倍数は各位の数の和が3の倍数になります。

例えば123は1＋2＋3＝6で

6は3の倍数なので123は3の倍数であることがわかります。(123÷3＝41)

この性質を使い、3つの数の和が3の倍数になるように数を選びます。

(0,1,2)　(0,2,4)　(1,2,3)　(2,3,4)　の4通りあります。

0の有無で解き方が変わるので場合分けします。

(ⅰ) (0,1,2)と(0,2,4)の場合

百の位は0以外の2通り

十の位は百の位の数以外の2通り

一の位は残り1通り

よって、2・2・1＝4通り(2・2！)

(0,1,2)と(0,2,4)で2パターンあるので

4＋4＝8通り

(ⅱ) (1,2,3)と(2,3,4)の場合

百の位は3通り

十の位は2通り

一の位は1通り

よって、3・2・1＝6通り(3！)

(1,2,3)と(2,3,4)で2パターンあるので

6＋6＝12通り

(ⅰ)(ⅱ)より

8＋12＝20通りになります。

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