4STEP 数学A 場合の数16

500以上1000以下の整数のうち、次のような数は何個あるか。

(1) 11の倍数でない整数

(2) 11の倍数であるが3の倍数でない整数

解

(1) 456個

1000以下の整数で11の倍数であるものは、1000÷11=90あまり10なので90個ある。同様にして500未満の整数の中で11の倍数の個数を求めると500÷11=45あまり5なので45個あることがわかる。90個のうち45個は条件を満たさないので90-45=45、

この45個が、500以上1000以下の整数のうち11の倍数である数になる。

500以上1000以下の整数は500～1000の501個なので、501-45=456となる。

(2) 30個

(1)より、500以上1000以下の整数のうち11の倍数であるものは45個、この中から3の倍数を取り除けばOKです。この45個はすべて11の倍数であり、さらに3の倍数でもあるものを求めたいので、最小公倍数33の倍数を探していきます。

1000以下の整数で33の倍数であるものは、1000÷33=30あまり10なので30個、500未満の整数の中で33の倍数は500÷33=15あまり5なので15個、500以上1000以下の整数のうち33の倍数であるものは30-15=15個になります。

よって45-15=30となります。

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