4STEP 数学A 場合の数21

68人にA、B、Cの3都市への旅行の経験を調査したところ、全員がA、B、Cのうち少なくとも1つへは行ったことがあった。また、BとCの両方、CとAの両方、AとBの両方へ行ったことがある人の人数は、それぞれ21人、19人、25人であり、BとCの少なくとも一方、CとAの少なくとも一方、AとBの少なくとも一方へ行ったことのある人の数は、それぞれ59人、56人、60人であった。

(1) A、B、Cの各都市へ行ったことのある人の数は、それぞれ何人か。

(2) A、B、Cの全都市へ行ったことのある人の数は何人か。

解

(1) A:40人、B:45人、C:35人

BとCについて、Bの人数とCの人数の合計からBかCの少なくとも一方に行った人数を引くとBとCの両方に行った人数を求めることができる。

B+C-(B∪C)=(B∩C)

整理すると

B+C=(B∩C)+(B∪C)、代入すると、B+C=21+59=80・・・①

同様にして、CとA、AとBでも計算します。

C+A=(C∩A)+(C∪A)、代入すると、B+C=19+56=75・・・②

A+B=(A∩B)+(A∪B)、代入すると、A+B=25+60=85・・・③

①②③を足すと、2A+2B+2C=240

2で割ると、A+B+C=120

この式から①、②、③をそれぞれ引くと答えになります。

(2) 13人

A、B、Cの合計からA∩B、B∩C、C∩Aを引き、A∩B∩Cを足すとA∪B∪C(今回は68)を求めることができるので、40+45+35-25-21-19+A∩B∩C=68となり、

整理すると、A∩B∩C=13人となります。

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