次の数の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。
(1) 5・2³
(2) 108
(3) 540
解
(1) 個数8個、総和90
5=1・5で2通り、2³=1・2・2・2で4通り
なので2×4=8個になります。
＊5の方は1か5の2通り、2³は1か2¹か2²か2³の4通り
各指数+1をかけ算すればOKです。
総和を出すには単純に各数を掛けてたせばOKですが、
1・1＋1・2＋1・2²＋1・2³＋・・・とすると大変なので、
(1+5)(1+2¹+2²+2³)で簡単に解きます。
(1+5)(1+2¹+2²+2³)=6×(1+2+4+8)=6×15=90となります。
(2) 個数12個、総和280
素因数分解をして108=2²・3³
(1)と同様にして、3×4=12個になります。
総和も(1)と同様にして
(1+2¹+2²)(1+3¹+3²+3³)=(1+2+4)×(1+3+9+27)=7×40=280となります。
(3) 個数24個、総和1680
素因数分解をして540=2²×3³×5
よって3×4×2=24個になります。
総数は
(1+2¹+2²)(1+3¹+3²+3³)(1+5¹)=(1+2+4)×(1+3+9+27)×6=1680となります。
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