白玉1個、赤玉4個、青玉6個で環状の首飾りを作る。
(1) 作り方は全部で何通りあるか。
(2) どの2個の赤玉も隣り合わないことにすると、作り方は何通りあるか。
解
(1) 110通り
首飾りの問題は左右対称になる場合と左右対称にならない場合に分けて考えます。
左右対称になる場合
白の位置を決めた後、白から右(左)5個の色を考えます。
左右対称なので赤2個、青3個を並べます。
5個を並べるので5！
赤が2個あるので÷2！
青が3個あるので÷3！
よって、5！÷2！÷3！＝10通りになります。
次に左右対称にならない場合
単純に11個の円順列を考えると(11ー1)！＝10！
赤が4個あるので÷4！
青が6個あるので÷6！
よって、10！÷4！÷6！＝210通り(一部重複を含む)
210通りのうち(1)より10通りが左右対称なので
210－10＝200通りが左右対称でないことがわかります。
左右対称でない場合は白を中心としたとき、裏返すと一致してしまうものができてしまうので÷2をする必要があります。
よって、
左右対称の場合・・・10通り
左右対称でない場合・・・200÷2＝100通り
10+100＝110通りになります。
(2) 19通り
赤の玉を取り除いた7個で円順列を考えます。
(7ー1)！＝6！
青が6個あるので÷6！
6！÷6！＝1通り
＊回転すると全て同じ状態になるので1通りなんですよね。。。
7個の玉で円を作ると玉と玉の間が7カ所空きます。
この7カ所から4箇所を選べば赤が隣り合うことはなくなります。
₇C₄＝₇C₃＝7・6・5÷3！＝35通り(重複を含む)
(1)と同様に左右対称かどうか分けて考えます。
左右対称の場合
中心の白とその右(左)3個の計4個の玉、この4個の玉の間3カ所のうち2カ所を選べばOKです。₃C₂＝₃C₁＝3通りになります。
次に左右対称にならない場合
重複を含む全体{35通り)から左右対称(3通り)を引いて
35ー3＝32通り
裏返すと同じになるので÷2
よって、32÷2＝16通り
左右対称の場合・・・3通り
左右対称でない場合・・・16通り
3+16＝19通りになります。
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