DEFENCEの7文字から4文字を取り出すとき、
次のような組み合わせおよび順列は、それぞれ何通りあるか。
(1) Eを3個含む場合
(2) Eを2個だけ含む場合
(3) 4字とも異なる場合
(4) 全ての場合
解
(1) 組み合わせ4通り、順列16通り
まずDEFENCEの文字に注目するとEが3個、そのほかの文字が1個ずつあることがわかります。
組み合わせは文字の選び方を考えればよいので
先にEを3個選び、もう一文字は残り4個から1個選ぶので
4通りになります。
順列は並び方まで考えます。
組み合わせの段階で4通り
選んだ4文字を並べるので4！
Eが3個あるので÷3！
よって、4・4！÷3！＝16通りになります。
(2) 組み合わせ6通り、順列72通り
組み合わせ
先にEを2個選んで、残り2文字をEを除いた4文字から選ぶので
₄C₂＝4・3÷2！＝6通りになります。
順列
組み合わせの段階で6通り
選んだ4文字を並べるので4！
Eが2個あるので÷2！
よって、6・4！÷2！＝72通りになります。
(3) 組み合わせ5通り、順列120通り
3個あるEうち2個を取り除いておけば重複することがなくなります。
組み合わせ
E2個を除いた5文字から4文字を選べばよいので
₅C₄＝₅C₁＝5通りになります。
順列
組み合わせの段階で5通り
選んだ4文字を並べるので4！
よって、5・4！＝120通りになります。
(4) 組み合わせ15通り、順列208通り
全ての場合をEの数に注目して考えると
Eが3個
Eが2個
Eが1個
Eが0個
の4パターンになります。
Eが3個→(1)
Eが2個→(2)
Eが1個、Eが0個→(3)
ですでに求めているのでそれぞれの和を求めればOKです。
組み合わせ
4＋6＋5＝15通りになります。
順列
16＋72＋120＝208通りになります。
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