12人の生徒を次のようにする方法は何通りあるか。
(1) 7人、5人の2組に分ける。
(2) 6人、4人、2人の3組に分ける。
(3) 6人ずつの2組に分ける。
(4) 6人ずつの2組に分ける。
(5) 8人、2人、2人の3組に分ける。
(6) 3人ずつの4組に分ける。
解
(1) 792通り
12人から7人を選べばよいので
₁₂C₇＝₁₂C₅＝12・11・10・9・8÷5！＝792通りになります。
(2) 13860通り
12人から6人を選び
残った6人から4人を選びます。
₁₂C₆・₆C₄
＝₁₂C₆・₆C₂
＝924・15
＝13860通りになります。
(3) 924通り
12人からAに入る6人を選べばよいので
₁₂C₆＝924通りになります。
(4) 462通り
(3)の状態でA、Bの区別がなくなるので÷2！をすればOKです。
924÷2！＝462通りになります。
(5) 1485通り
12人から8人を選び
残った4人から2人を選びます。
今回は2人のグループが2個を区別しないので÷2！をします。
₁₂C₈・₄C₂÷2！
＝₁₂C₄・₄C₂÷2！
＝495・6÷2！
＝1485通りになります。
(6) 15400通り
12人から3人を選び
残った9人から3人を選び
残った6人から3人を選びます。
4つの組は区別しないので÷4！をします。
₁₂C₃・₉C₃・₆C₃÷4！
＝220・84・20÷24
＝15400通りになります。
＊4組の場合(わかりやすくA,B,C,Dとします)
区別をしない場合
ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB、
BACD、BADC、BCAD、BCDA、BDAC、BDCA、
CABD、CADB、CBAD、CBDA、CDAB、CDBA、
DABC、DACB、DBAC、DBCA、DCAB、DCBA
の24個を同じものとみなすので÷24(4！)をする必要があります。
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