4STEP
ジョーカーを除く1組52枚のトランプから1枚抜き取り、 カードを見てからもとに戻すことを2回行うとき、次の確率を求めよ。 (1) 2回ともハートが出る確率 (2) 2回目に初めてハートが出る確率 解 (1) 1/16 52枚中13枚がハートなので 1枚目にハートを引く確率は…
Aの袋には白玉が7個、赤玉が3個、Bの袋には白玉が6個、赤玉が4個入っている。 Aから玉を1個、Bから玉を2個同時に取り出すとき、全部が白玉である確率を求めよ。 解 7/30 Aから白を取り出す確率は7/10 B1個目が白なのは6/10 B2個目が白なのは5/9 Bが両方とも…
大小2個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 2個とも偶数の目が出る確率 (2) 大は偶数の目が出て、小は5以上の目が出る確率 解 それぞれの試行が互いに独立である場合は、 各試行の確率の積により求めていきます。 (1) 1/4 偶数の目は2,4,…
4本の当たりくじが入っている10本のくじから、1本のくじを引く試行をS、続いてもう1本のくじを引く試行をTとする。次のような場合、SとTは独立であるか。 (1) Sで引いたくじをもとに戻す。 (2) Sで引いたくじをもとに戻さない。 解 (1) 独立である Sの試行で…
ある試行における2つの事象A,Bについて、 P(A)＝0.5、P(B)＝0.3、P(A∪B)＝0.6であるとき、次の問いに答えよ。 (1) P(A∩B)、P(A∩B￣)、P(A￣∩B)を求めよ。 (2) A、Bのどちらか一方だけが起こる事象を、A,B,∪,∩,￣を用いて表せ。 また、その事象が起こる確率を…
1個のさいころを3回投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 何回目かにその回の番号と同じ目が出る確率 (2) どの回にもその回の番号と同じ目が出ないで、しかも1の目が1回も出ない確率 解 (1) 91/216 まず全通りは6・6・6＝216通りになります。 今回は、その回…
101から500までの番号札が各1枚ずつある。この札から1枚を取り出すとき、 その番号が6でも9でも割り切れない確率を求めよ。 解 311/400 番号札は400枚あるので全通りは400通りになります。 余事象を使って求めていきましょう。 まず6で割れる数をもとめます…
3個のさいころを同時に投げるとき、次のような目が出る確率を求めよ。 (1) 少なくとも2個の目は等しい (2) 3個の目の積が偶数 解 (1) 4/9 まず全通りは6・6・6＝216通りになります。 次に余事象を使って求めていきます。 全体から”3個の目が異なる”場合を引…
白玉3個、赤玉5個、青玉4個が入っている袋から、 4個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) 3個以上赤玉が出る確率 (2) 取り出した玉がどの色の玉も含む確率 (3) 取り出した玉の色が2色である確率 解 (1) 5/33 まず全通りは玉12個から4個を取り…
次の確率を求めよ。 (1) 5枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は裏が出る確率 (2) 1から100までの番号をつけた100枚のカードから1枚を取り出すとき、 その番号が6の倍数でない確率 解 (1) 31/32 余事象を使って考えます。 ”少なくとも1枚は裏がでる”…
1から100までの番号をつけた100枚のカードから1枚を取り出すとき、 その番号が5または8で割り切れる確率を求めよ。 解 3/10 カードが100枚あるので全体は100通りです。 5で割り切れる数は100÷5＝20個 8で割り切れる数は100÷8＝12あまり4で12個 そのうち5、8…
15本のくじの中に当たりくじが5本ある。このくじを同時に5本引くとき、 当たりくじが3本以上含まれる確率を求めよ。 解 167/1001 全通りは15本から5本を選ぶので ₁₅C₅＝15・14・13・12・11÷5！＝3003通り 当たりくじが3本以上含まれるときは (ⅰ) 当たり5本 (…
2個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 目の積が12になる確率 (2) 目の積が12の倍数である確率 解 (1) 1/9 さいころの目は1～6なので 全通りは6・6＝36通りで、 積が12になるときは下の表から4通りなので 4/36＝1/9になります。 (2) 7/36…
白玉5個、赤玉4個が入っている袋から、玉を同時に3個取り出すとき、 すべて同じ色が出る確率を求めよ。 解 1/6 まず全通りは9個の玉から3を選べばよいので ₉C₃＝9・8・7÷3！＝84通りになります。 そのうち、すべて同じ色になるのは白3個、赤3個の2パターンが…
2個のさいころを同時に投げるとき、次の事象のうち、互いに排反であるものはどれとどれか。 A：目の和が7 B：目の積が6 C：出る目がともに3以下 解 AとC 互いに排反とは、2つの集合に共通するものがない状態です。 例えばAとBで考えると、 (1,6)の場合、和が…
3個のさいころを同時に投げるとき、次のような目が出る確率を求めよ。 (1) 目の積が150 (2) 目の積が18 (3) 目の積が135以上 解 (1) 1/72 まず全通りは6・6・6＝216になります。 次に積が150になるときを考えます。 150を素因数分解すると 150＝2・3・5・5 …
A,B,C,Dの4人がじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。 (1) Aだけが負ける確率 (2) 1人だけが勝つ確率 解 (1) 1/27 各人の手の出し方はグー、チョキ、パーの3通りなので 3⁴＝81通りが全通りになります。 このうち、Aが負けるときは ・グーを出して負け…
1個のさいころを投げる試行において、｢偶数の目が出る｣、｢3の倍数の目が出る｣、｢素数の目が出る｣という事象をそれぞれA、B、Cとする。このとき、次の事象の起こる確率を求めよ。 (1) A∩B (2) A∪B (3) B∩C (4) C∩A 解 さいころの目は1～6の6通りで、 各事象は…
男子6人、女子2人が、くじ引きで席を決めて円卓を囲んで座るとき、 次のようになる確率を求めよ。 (1) 女子2人が隣り合う。 (2) 女子2人が向かい合う。 解 (1) 2/7 8人の円順列は(8ー1)！＝7！ 女子2人を1人として7人の円順列は(7－1)！＝6！ 女子は位置を入…
A,B,C,D,E,F,G,Hの8文字を無作為に1列に並べるとき、 次のようぬなる場合を求めよ。 (1) 両端がA、Bである。 (2) A、Bが隣り合う。 (3) AはBより左に、BはCより左にある。 解 (1) 1/28 8文字を1列に並べる方法は8！ A、B以外の6文字を1列に並べる方法は6！ A…
白玉6個と赤玉4個が入っている袋から、玉を同時に4個取り出すとき、 次の確率を求めよ。 (1) 白玉3個と赤玉1個が出る確率 (2) 4個すべてが赤玉である確率 解 (1) 8/21 玉の取り出し方は₁₀C₄＝210通りある。 白玉6個の中から3個を選べばよいので₆C₃ 赤玉4個の…
2個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。 (1) 大きい目から小さい目を引いた差が3になる確率 (2) 目の積が6になる確率 解 (1) 1/6 さいころを2回投げたときは6×6＝36通りある。 そのうち、大ー小が3になるのは (1,4)、(2,5)、(3,6)、 (4,1)、(5…
ジョーカーを除く1組52枚のトランプから1枚を選ぶとき、次の確率を求めよ。 (1) スペードの札である確率 (2) 5の札である確率 解 (1) 1/4 トランプ52枚の内訳は スペード♠・・・1～13の13枚 ハート♥・・・1～13の13枚 ダイヤ♦・・・1～13の13枚 クラブ♣・・…
次の考え方は誤っている。正しい考え方で確率を求めよ。 (1) 3枚の硬貨を同時に投げるとき、(表,裏)の枚数について、 (3,0)、(2,1)、(1,2)、(0,3)の4通りがある。 よって、3枚とも表が出る確率は1/4である。 (2) 2個のさいころを同時に投げるとき、目の積は…
赤玉、白玉、黒玉、緑玉が各1個ずつ入った袋がある。 (1) 玉を同時に2個取り出す試行について、その全事象を求めよ。 (2) (1)の試行において、白玉が出るという事象を求めよ。 解 (1) 気合いで書き出しましょう！ (赤,白)、(赤,黒)、(赤,緑)、 (白,黒)、(白,…
1個のさいころを投げる試行について、次の事象を集合で表せ。 (1) 偶数の目が出る。 (2) 3以上の目が出る。 (3) 8の倍数の目が出る。 解 (1) {2,4,6} 偶数は0、2、4、6、8・・・と続くのでサイコロの目1～6に含まれる2,4,6が答えになります。 (2) {3,4,5,6} …
1個のさいころを3回投げて出る目の数を順にa,b,cとする。 次の場合は何通りあるか。 (1) a＜b＜c (2) a≦b≦c 解 (1) 20通り さいころを3回投げて出た数字を小さい順にa,b,cとすればOKです。 6個の数字から3個を選べばよいので ₆C₃＝6・5・4÷3！＝20通りになり…
(1) 等式x＋y＋z＝7を満たす負でない整数x,y,zの組は、全部で何個あるか。 (2) 等式x＋y＋z＝9を満たす正の整数x,y,zの組は、全部で何個あるか。 解 (1) 36個 ○を7個と区切り線を2本用意して順列を考えればOKです。 全部で9個あるので9！ ○が7個あるので÷7！…
候補者が3人で、投票者が8人いる無記名投票で、1人1票を投票するときの票の分かれ方の総数を求めよ。ただし、候補者は投票できないものとする。 解 45通り 投票者8人と区切り線2本の計10個で順列を考えましょう。 10個を並べるので10！ 投票者が8人いるので÷…
5個のりんごを3人に分配する。1個ももらわない人があってもよいとすると何通りの分け方があるか。また、1人に少なくとも1個は与えるものとするとどうか。 解 1個ももらわない人があってもよいとする・・・21通り 1人に少なくとも1個は与えるものとする・・・…
