共通テスト数学Ⅰ・A 第1問〔2〕です。
頑張って解いてみましょう!
(ガチ解説は他の人にまかせた！)
〔2〕
(1)とりあえず条件読んで図を書きましょう。(図は下手です。すいません）
(ⅰ)
(サ) sin ACB(以後省略してsin C)を求めます。
図より正弦定理を使い、
6/sin C=10となるので、
整理してsin C=3/5で正解です。
(シ) 次は鈍角の時のcos Cを求めましょう。
sin²C+cos²C＝1にsinC=3/5を代入して、
cos²C=16/25 となります。∠ACBは鈍角は鈍角とあるので
cosC＝-4/5 で正解です。
(ⅱ)
(ス) △ABCの面積が最大になるときの図を書きます。ABを底辺としたとき、高さが最大になるときなので図のようになります。(DはABの中点になります)
(セソ) △ABCの面積を求めます。
AB=6、DC＝DO+CO＝4＋5＝9より
6×9÷2＝27で正解です。
(2) 球の問題でした。まず作図を頑張ってみましょう！
球の半径は5とありますが、PQR平面の半径は5ではありません
(タチ) 余弦定理？で解きます。
QR²＝PQ²＋PR²-2×PQ×PR×cosP
25＝64＋81-144cosP
cosP=5/6 で正解です。
(ツテト) △PQRの面積を求めます。
cosP=5/6 より sinP=√11/6 を求めます。
S＝1/2×PQ×PR×sinP を使って
S＝1/2×8×9×√11/6=6√11 で正解です。
(ナ) 三角錐TPQRの体積が最大になる点Tを球面上にとります。
そのときのPH,QH,RHの長さの関係についてでした。
感覚的にTはP,Q,Rの真ん中にある時が体積が最大になると考え、PQR平面上では外接円の中心(外心)であると思いPH=QH=RHで正解でした。
(ニ～ハ) 三角錐TPQRの体積を求めます。
底面積△PQRの面積(6√11)は求められているので高さTH(TO+OH)を求めます。
QR/sinP=2Rより円の半径を求めます。(sinP=√11/6は前に出しています)
これをといて、R＝15/√11 がわかります。
△OPHに着目してOHを三平方出だします(計算が大変です)
OH=5√22/11がわかったら、TO=5(球の半径)よりTH＝5＋5√22/11になります。
あとは三角錐の体積の公式で出せばOKです。
6√11×(5＋5√22/11)÷3＝10(√11＋√2）で正解です。
今回はここまでです。
思っていたよりも簡単だなぁという印象です。(公式の名前を思い出す方が大変でした）
かなりブランクがある状態でも、とりあえず解けるレベルなので受験生にとっては拍子抜けだったかな？
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